Kalkulator permutacji i kombinacji
Oblicz dokładnie liczbę uporządkowań i wyborów r elementów spośród n: permutacje nPr, kombinacje nCr, permutacje z powtórzeniami n^r i kombinacje z powtórzeniami C(n + r - 1, r). Wpisz liczby całkowite do 1000, aby otrzymać każdy wynik jako dokładną liczbę całkowitą; bardzo długie wyniki są dodatkowo przedstawiane w notacji naukowej wraz z liczbą cyfr. Przydatne w rachunku prawdopodobieństwa, obliczaniu szans na loterii, tworzeniu haseł i zadaniach z kombinatoryki.
Najczęściej zadawane pytania
Czym różni się permutacja od kombinacji?
Permutacja opisuje uporządkowane ustawienia, więc wybór najpierw A, a potem B różni się od wyboru najpierw B, a potem A. Kombinacja opisuje wybór bez uwzględniania kolejności — liczy się tylko wybrany zbiór. Dlatego nPr jest zawsze co najmniej tak duże jak nCr, a nPr jest równe nCr pomnożonemu przez silnię z r.
Jakie wzory są stosowane?
nPr = factorial(n) / factorial(n - r), nCr = nPr / factorial(r), permutacje z powtórzeniami to n^r, a kombinacje z powtórzeniami to C(n + r - 1, r). Wyniki są obliczane dokładnie na liczbach całkowitych, bez użycia silni zmiennoprzecinkowych. Wzory znajdują się pod wynikami.
Kiedy używać powtórzeń?
Używaj permutacji z powtórzeniami, gdy elementy mogą się powtarzać, a kolejność ma znaczenie, na przykład przy tworzeniu 4-cyfrowego kodu PIN z 10 cyfr, który ma 10^4 = 10,000 możliwości. Używaj kombinacji z powtórzeniami, gdy elementy mogą się powtarzać, ale kolejność nie ma znaczenia, na przykład przy wyborze 3 gałek spośród 5 smaków lodów, co daje C(7, 3) = 35 możliwości.
Co się dzieje, gdy r jest większe niż n?
Bez powtórzeń nie można wybrać więcej elementów, niż jest dostępnych, więc nPr i nCr wynoszą 0. Przy powtórzeniach r może być większe niż n, a oba wyniki dla powtórzeń są nadal obliczane. Na przykład wybór 2 elementów 5 razy z powtórzeniami daje 2^5 = 32 uporządkowane wyniki.
Jak duże mogą być n i r?
Obie wartości mogą być liczbami całkowitymi od 0 do 1000. Wyniki mogą być ogromne, ponieważ 1000^1000 ma 3001 cyfr, dlatego narzędzie oblicza je z użyciem liczb całkowitych o dowolnej precyzji. Wartości dłuższe niż 100 cyfr są wyświetlane w notacji naukowej wraz z dokładną liczbą cyfr.
Jak obliczyć szanse na wygraną na loterii?
W przypadku loterii, w której losuje się 6 liczb z 49, a kolejność nie ma znaczenia, wpisz n = 49 i r = 6, a następnie odczytaj nCr, czyli 13,983,816. Szansa na trafienie wszystkich sześciu liczb na jednym kuponie wynosi 1 do tej liczby. Uwzględnij dodatkowe liczby, mnożąc przez ich własne kombinacje.
Co się dzieje, gdy nie wybierze się żadnych elementów?
Zgodnie z przyjętą konwencją silnia z 0 wynosi 1, a nic można wybrać dokładnie na jeden sposób, więc nP0 = nC0 = 1 dla dowolnego n. Również n^0 = 1, w tym 0^0, co jest standardową konwencją w kombinatoryce. Narzędzie stosuje te konwencje.
Dlaczego wyniki nCr są symetryczne?
Wybór r elementów do zabrania jest równoważny wyborowi n - r elementów do pozostawienia, więc C(n, r) = C(n, n - r). Na przykład C(10, 3) i C(10, 7) są równe 120. Narzędzie wykorzystuje tę symetrię, aby szybciej obliczać duże kombinacje.
Czy można używać liczb dziesiętnych lub ujemnych?
Nie, n i r muszą być nieujemnymi liczbami całkowitymi, ponieważ oznaczają liczbę elementów. Wpisanie liczby dziesiętnej lub ujemnej zostanie odrzucone z komunikatem. Do funkcji gamma i niecałkowitych silni użyj kalkulatora naukowego.
Jak dokładne są wyniki?
Każda liczba jest dokładna co do ostatniej cyfry, ponieważ narzędzie mnoży i dzieli liczby całkowite o dowolnej precyzji. Wyniki do 100 cyfr są wyświetlane w całości. Dłuższe wyniki pokazują początkowe cyfry jako potęgę dziesięciu wraz z łączną liczbą cyfr.