Калькулятор перестановок і комбінацій
Обчислюйте кількість розміщень і вибірок r елементів із n з точними результатами: перестановки nPr, комбінації nCr, перестановки з повтореннями n^r і комбінації з повтореннями C(n + r - 1, r). Вводьте цілі числа до 1000 та отримуйте точну кількість цілим числом; дуже довгі результати також показуються в науковій нотації із зазначенням кількості цифр. Корисно для теорії ймовірностей, шансів у лотереї, паролів і домашніх завдань з комбінаторики.
Поширені запитання
Чим відрізняються перестановка та комбінація?
Перестановка рахує впорядковані розміщення, тому вибрати спочатку A, а потім B — не те саме, що спочатку B, а потім A. Комбінація рахує невпорядковані вибірки, де важлива лише вибрана множина. Саме тому nPr завжди не менше за nCr, а nPr дорівнює nCr, помноженому на факторіал r.
Які формули використовуються?
nPr = factorial(n) / factorial(n - r), nCr = nPr / factorial(r), кількість перестановок із повтореннями дорівнює n^r, а кількість комбінацій із повтореннями — C(n + r - 1, r). Результати обчислюються точною цілочисельною арифметикою, без факторіалів із рухомою комою. Формули наведено під результатами.
Коли слід враховувати повторення?
Використовуйте перестановки з повтореннями, коли елементи можна використовувати повторно й порядок має значення, наприклад для 4-значного PIN-коду з 10 цифр, який має 10^4 = 10,000 можливих варіантів. Використовуйте комбінації з повтореннями, коли елементи можна використовувати повторно, але порядок не має значення, наприклад для вибору 3 кульок із 5 смаків морозива, що дає C(7, 3) = 35 варіантів.
Що відбувається, коли r більше за n?
Без повторень неможливо вибрати більше елементів, ніж є, тому nPr і nCr дорівнюють 0. З повтореннями r може перевищувати n, і обидві кількості з повтореннями все одно обчислюються. Наприклад, вибір 2 елементів 5 разів із повтореннями дає 2^5 = 32 впорядковані варіанти.
Якими можуть бути n і r?
Обидва значення можуть бути цілими числами від 0 до 1000. Результати все одно можуть бути величезними: 1000^1000 має 3001 цифр, тому інструмент обчислює їх з використанням цілих чисел довільної точності. Значення, довші за 100 цифр, відображаються в науковій нотації із зазначенням точної кількості цифр.
Як обчислити шанси в лотереї?
Для лотереї, у якій із 49 чисел витягують 6 і порядок не має значення, введіть n = 49 і r = 6 та перегляньте nCr, що дорівнює 13,983,816. Імовірність вгадати всі шість чисел одним квитком становить 1 до цього числа. Додайте бонусні числа, перемноживши результат на кількість їхніх комбінацій.
Що відбувається, коли не вибрано жодного елемента?
За домовленістю факторіал 0 дорівнює 1, і є рівно один спосіб нічого не вибрати, тому nP0 = nC0 = 1 для будь-якого n. Також n^0 = 1, зокрема 0^0, — це стандартна домовленість у комбінаториці. Інструмент дотримується цих домовленостей.
Чому результати nCr симетричні?
Вибрати r елементів, які потрібно взяти, — те саме, що вибрати n - r елементів, які потрібно залишити, тому C(n, r) = C(n, n - r). Наприклад, C(10, 3) і C(10, 7) дорівнюють 120. Інструмент використовує цю симетрію, щоб швидше обчислювати великі комбінації.
Чи можна використовувати десяткові або від’ємні числа?
Ні, n і r мають бути невід’ємними цілими числами, оскільки вони позначають кількість елементів. Десяткові або від’ємні значення відхиляються з відповідним повідомленням. Для гамма-функції та нецілих факторіалів скористайтеся Науковим калькулятором.
Наскільки точні результати?
Кожне значення обчислюється точно до останньої цифри, оскільки інструмент множить і ділить цілі числа довільної точності. Результати до 100 цифр відображаються повністю. Для довших чисел показуються початкові цифри як степінь десяти та загальна кількість цифр.