Калькулятор перестановок и сочетаний
Подсчитывайте точное количество упорядоченных размещений и выборок r элементов из n: перестановки nPr, сочетания nCr, перестановки с повторениями n^r и сочетания с повторениями C(n + r - 1, r). Введите целые числа до 1000 и получите точные целочисленные результаты; очень длинные числа также отображаются в научной нотации с указанием количества цифр. Полезен для теории вероятностей, расчета шансов в лотереях, паролей и задач по комбинаторике.
Часто задаваемые вопросы
В чем разница между перестановкой и сочетанием?
Перестановка считает упорядоченные варианты: выбор сначала A, затем B отличается от выбора сначала B, затем A. Сочетание считает неупорядоченные выборки, где важен только выбранный набор. Поэтому nPr всегда не меньше nCr, а nPr равно nCr, умноженному на факториал r.
Какие формулы используются?
nPr = factorial(n) / factorial(n - r), nCr = nPr / factorial(r), перестановки с повторениями равны n^r, а сочетания с повторениями — C(n + r - 1, r). Результаты вычисляются с помощью точной целочисленной арифметики, без факториалов с плавающей точкой. Формулы приведены под результатами.
Когда следует учитывать повторения?
Используйте перестановки с повторениями, когда элементы можно выбирать повторно и порядок важен, например для PIN-кода из 4 цифр, выбранных из 10: таких вариантов 10^4 = 10,000. Используйте сочетания с повторениями, когда элементы можно выбирать повторно, но порядок не важен, например при выборе 3 шариков мороженого из 5 вкусов: получится C(7, 3) = 35.
Что происходит, если r больше n?
Без повторений нельзя выбрать больше элементов, чем есть, поэтому nPr и nCr равны 0. С повторениями r может быть больше n, и оба количества вариантов с повторениями всё равно вычисляются. Например, если выбрать 2 элемента 5 раз с повторениями, получится 2^5 = 32 упорядоченных варианта.
Каковы максимальные значения n и r?
Оба значения могут быть целыми числами от 0 до 1000. Результаты всё равно могут быть огромными: число 1000^1000 состоит из 3001 цифр, поэтому инструмент вычисляет их с помощью целых чисел произвольной точности. Значения длиной более 100 цифр отображаются в научной нотации с точным количеством цифр.
Как рассчитать шансы в лотерее?
Для лотереи, в которой выбирают 6 чисел из 49 и порядок не важен, введите n = 49 и r = 6 и посмотрите значение nCr: 13,983,816. Вероятность угадать все шесть чисел по одному билету составляет 1 к этому числу. Чтобы учесть дополнительные шары, перемножьте значения соответствующих сочетаний.
Что происходит, если выбрано ноль элементов?
По соглашению факториал 0 равен 1, и есть ровно один способ ничего не выбрать, поэтому nP0 = nC0 = 1 при любом n. Кроме того, n^0 = 1, в том числе 0^0: это стандартное соглашение в комбинаторике. Инструмент следует этим соглашениям.
Почему результаты nCr симметричны?
Выбрать r элементов, чтобы взять их, — то же самое, что выбрать n - r элементов, чтобы оставить их, поэтому C(n, r) = C(n, n - r). Например, C(10, 3) и C(10, 7) равны 120. Благодаря этой симметрии инструмент быстрее вычисляет большие сочетания.
Можно ли использовать дробные или отрицательные числа?
Нет, n и r должны быть неотрицательными целыми числами, поскольку они обозначают количество элементов. Дробные и отрицательные значения отклоняются с сообщением. Для гамма-функции и факториалов нецелых чисел используйте научный калькулятор.
Насколько точны результаты?
Каждое количество вычисляется точно до последней цифры, поскольку инструмент перемножает и делит целые числа произвольной точности. Результаты длиной до 100 цифр отображаются полностью. Для более длинных чисел показываются первые цифры в виде степени десяти и общее количество цифр.