Calcolatrice di permutazioni e combinazioni
Calcola disposizioni e selezioni di r elementi da n con risultati esatti: permutazioni nPr, combinazioni nCr, permutazioni con ripetizione n^r e combinazioni con ripetizione C(n + r - 1, r). Inserisci numeri interi fino a 1000 e ottieni ogni conteggio come numero intero esatto; i risultati molto lunghi sono mostrati anche in notazione scientifica con il numero di cifre. Utile per probabilità, probabilità di vincita alla lotteria, password ed esercizi di calcolo combinatorio.
Domande frequenti
Qual è la differenza tra una permutazione e una combinazione?
Una permutazione conta le disposizioni ordinate, quindi scegliere prima A e poi B è diverso da scegliere prima B e poi A. Una combinazione conta le selezioni non ordinate, in cui conta solo l’insieme scelto. Per questo nPr è sempre almeno pari a nCr e nPr equivale a nCr moltiplicato per il fattoriale di r.
Quali formule vengono usate?
nPr = factorial(n) / factorial(n - r), nCr = nPr / factorial(r), le permutazioni con ripetizione sono n^r e le combinazioni con ripetizione sono C(n + r - 1, r). I risultati sono calcolati con aritmetica intera esatta, mai tramite fattoriali in virgola mobile. Le formule sono elencate sotto i risultati.
Quando devo usare la ripetizione?
Usate le permutazioni con ripetizione quando gli elementi possono essere riutilizzati e l’ordine conta, ad esempio per un PIN di 4 cifre composto da 10 cifre, che ha 10^4 = 10,000 possibilità. Usate le combinazioni con ripetizione quando gli elementi possono essere riutilizzati ma l’ordine non conta, ad esempio scegliendo 3 palline tra 5 gusti di gelato, che dà C(7, 3) = 35.
Cosa succede quando r è maggiore di n?
Senza ripetizione non è possibile scegliere più elementi di quanti ne esistano, quindi nPr e nCr sono 0. Con ripetizione, r può essere maggiore di n e si calcolano comunque entrambi i conteggi. Ad esempio, scegliendo 5 volte 2 elementi con ripetizione si ottengono 2^5 = 32 risultati ordinati.
Quanto possono essere grandi n e r?
Entrambi possono essere numeri interi da 0 a 1000. I risultati possono comunque essere enormi, poiché 1000^1000 ha 3001 cifre, quindi lo strumento li calcola con numeri interi a precisione arbitraria. I valori con più di 100 cifre sono mostrati in notazione scientifica insieme al numero esatto di cifre.
Come calcolo le probabilità della lotteria?
Per una lotteria che estrae 6 numeri su 49 senza che l’ordine conti, inserite n = 49 e r = 6 e consultate nCr, che è 13,983,816. Con una sola schedina, la probabilità di indovinarli tutti e sei è di 1 su quel numero. Per aggiungere numeri bonus, moltiplicate per le rispettive combinazioni.
Cosa succede quando non si sceglie alcun elemento?
Per convenzione, il fattoriale di 0 è 1 e c’è esattamente un modo di non scegliere nulla, quindi nP0 = nC0 = 1 per qualsiasi n. Inoltre n^0 = 1, incluso 0^0, secondo la convenzione standard in combinatoria. Lo strumento segue queste convenzioni.
Perché i risultati di nCr sono simmetrici?
Scegliere r elementi da prendere equivale a scegliere n - r elementi da lasciare, quindi C(n, r) = C(n, n - r). Ad esempio, C(10, 3) e C(10, 7) sono entrambi 120. Lo strumento sfrutta questa simmetria per calcolare più rapidamente le combinazioni grandi.
Posso usare decimali o numeri negativi?
No, n e r devono essere numeri interi non negativi, perché indicano il conteggio degli elementi. Gli input decimali o negativi vengono rifiutati con un messaggio. Per la funzione gamma e i fattoriali non interi, usate la Calcolatrice scientifica.
Quanto sono precisi i risultati?
Ogni conteggio è esatto fino all’ultima cifra, perché lo strumento moltiplica e divide numeri interi a precisione arbitraria. I risultati fino a 100 cifre sono mostrati per intero. Quelli più lunghi mostrano le cifre iniziali come potenza di dieci, insieme al numero totale di cifre.