Permutations- und Kombinationsrechner
Zähle Anordnungen und Auswahlen von r Elementen aus n mit exakten Ergebnissen: Permutationen nPr, Kombinationen nCr, Permutationen mit Wiederholung n^r und Kombinationen mit Wiederholung C(n + r - 1, r). Gib ganze Zahlen bis 1000 ein und erhalte jede Anzahl als exakte Ganzzahl. Sehr lange Ergebnisse werden zusätzlich in wissenschaftlicher Notation samt Ziffernanzahl angezeigt. Nützlich für Wahrscheinlichkeitsrechnung, Lotteriechancen, Passwörter und Kombinatorikaufgaben.
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Unterschied zwischen einer Permutation und einer Kombination?
Eine Permutation zählt Anordnungen, bei denen die Reihenfolge eine Rolle spielt. A zuerst und dann B auszuwählen, ist also etwas anderes, als zuerst B und dann A auszuwählen. Eine Kombination zählt Auswahlen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge; entscheidend ist nur, welche Elemente ausgewählt wurden. Deshalb ist nPr immer mindestens so groß wie nCr, und nPr entspricht nCr multipliziert mit der Fakultät von r.
Welche Formeln werden verwendet?
nPr = factorial(n) / factorial(n - r), nCr = nPr / factorial(r), Permutationen mit Wiederholung sind n^r und Kombinationen mit Wiederholung sind C(n + r - 1, r). Die Ergebnisse werden mit exakter Ganzzahlarithmetik berechnet, niemals mit Fakultäten im Gleitkommaformat. Die Formeln stehen unter den Ergebnissen.
Wann sollte ich Wiederholungen zulassen?
Verwende Permutationen mit Wiederholung, wenn Elemente erneut verwendet werden können und die Reihenfolge eine Rolle spielt, etwa bei einer 4-stelligen PIN aus 10 Ziffern mit 10^4 = 10,000 Möglichkeiten. Verwende Kombinationen mit Wiederholung, wenn Elemente erneut verwendet werden können, die Reihenfolge aber keine Rolle spielt, etwa bei der Auswahl von 3 Kugeln aus 5 Eissorten, die C(7, 3) = 35 Möglichkeiten ergibt.
Was passiert, wenn r größer als n ist?
Ohne Wiederholung kannst du nicht mehr Elemente auswählen, als vorhanden sind. Daher sind nPr und nCr gleich 0. Mit Wiederholung kann r größer als n sein, und beide Anzahlen mit Wiederholung werden weiterhin berechnet. Wählst du zum Beispiel 5-mal mit Wiederholung aus 2 Elementen aus, ergeben sich 2^5 = 32 geordnete Möglichkeiten.
Wie groß können n und r sein?
Beide können ganze Zahlen von 0 bis 1000 sein. Die Ergebnisse können trotzdem riesig sein: 1000^1000 hat 3001 Stellen. Deshalb berechnet das Werkzeug sie mit Ganzzahlen beliebiger Genauigkeit. Werte mit mehr als 100 Stellen werden in wissenschaftlicher Notation mit der genauen Stellenzahl angezeigt.
Wie berechne ich die Gewinnchancen im Lotto?
Bei einer Lotterie, bei der 6 Zahlen aus 49 gezogen werden und die Reihenfolge keine Rolle spielt, gib n = 49 und r = 6 ein und lies nCr ab: 13,983,816. Mit einem Los liegt deine Chance, alle sechs Zahlen richtig zu tippen, bei 1 zu dieser Zahl. Beziehe zusätzliche Zahlen ein, indem du ihre jeweiligen Kombinationen multiplizierst.
Was passiert, wenn null Elemente ausgewählt werden?
Per Konvention ist die Fakultät von 0 gleich 1, und es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auszuwählen. Daher gilt für jedes n: nP0 = nC0 = 1. Auch n^0 = 1, einschließlich 0^0. Das ist die übliche Konvention in der Kombinatorik. Das Werkzeug folgt diesen Konventionen.
Warum sind nCr-Ergebnisse symmetrisch?
r Elemente auszuwählen ist dasselbe, wie n - r Elemente übrig zu lassen. Daher gilt C(n, r) = C(n, n - r). Zum Beispiel sind C(10, 3) und C(10, 7) beide gleich 120. Das Werkzeug nutzt diese Symmetrie, um große Kombinationen schneller zu berechnen.
Kann ich Dezimalzahlen oder negative Zahlen verwenden?
Nein, n und r müssen ganze Zahlen größer oder gleich null sein, da sie Elemente zählen. Dezimalzahlen und negative Eingaben werden mit einer Meldung zurückgewiesen. Für die Gammafunktion und nicht ganzzahlige Fakultäten verwendest du den Scientific Calculator.
Wie genau sind die Ergebnisse?
Jede Anzahl ist bis zur letzten Stelle exakt, da das Werkzeug Ganzzahlen beliebiger Genauigkeit multipliziert und dividiert. Ergebnisse mit bis zu 100 Stellen werden vollständig angezeigt. Bei längeren Ergebnissen werden die führenden Ziffern als Zehnerpotenz zusammen mit der Gesamtzahl der Stellen angezeigt.