Калькулятор комплексных чисел
Складывайте, вычитайте, умножайте, делите комплексные числа и возводите их в степень, а также находите сопряженное число, обратное число или квадратный корень. Вводите значения, например 3 + 4i или 2 - i; вместо i можно использовать j. Результат отображается в алгебраической форме, а также с модулем, аргументом в радианах и градусах, в полярной и показательной формах; точность округления можно выбрать. Вычисления выполняет модуль комплексных чисел mathjs. Инструмент подойдет студентам инженерных, физических и математических специальностей.
Часто задаваемые вопросы
Как записать комплексное число?
Сначала укажите действительную часть, затем мнимую с i, например 3 + 4i, 2 - i, -0.5i или просто 7 для действительного числа. Инженеры могут использовать j вместо i, например 3 + 4j. Пробелы и явный знак умножения, как в 4*i, разрешены.
Какие операции доступны?
Операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень используют оба числа — z1 и z2. Операции сопряжения, вычисления обратного числа и квадратного корня используют только первое число и игнорируют второе поле. В меню операций указано, какие значения используются.
Что такое модуль и аргумент?
Модуль |z| — это расстояние от числа до начала координат, то есть квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой частей. Аргумент — угол от положительной действительной оси в пределах от -180 до 180 градусов. Для 3 + 4i модуль равен 5, а аргумент составляет примерно 53.13 градуса.
Что такое полярная и показательная формы?
В полярной форме число записывается через модуль и угол: r ∠ θ, причем угол указывается в градусах. В показательной форме то же число записывается как r e^(iθ), причем угол указывается в радианах согласно формуле Эйлера. Обе формы описывают ту же точку, что и алгебраическая запись a + bi.
Как выполняется деление комплексных чисел?
При делении числитель и знаменатель умножаются на число, сопряженное делителю, благодаря чему знаменатель становится действительным числом. Например, (3 + 4i) ÷ (1 - 2i) дает -1 + 2i. Деление на 0 не определено, поэтому инструмент сообщает об ошибке.
Как вычисляется степень комплексного числа?
z1 ^ z2 вычисляется как e в степени произведения z2 на главное значение логарифма z1 — это стандартное определение, используемое в mathjs. Для целых показателей степени получаются привычные результаты: например, (1 + i)^2 = 2i. Для нецелых показателей возвращается главное значение — один из нескольких возможных ответов.
Какой квадратный корень возвращается?
Инструмент возвращает главный квадратный корень — тот, у которого действительная часть неотрицательна. Второй квадратный корень — это противоположное число. Например, квадратный корень из -4 равен 2i, а второй корень — -2i.
Для чего используется сопряженное число?
Сопряжённое число для a + bi — это a - bi, отражение относительно действительной оси. Произведение числа на его сопряжённое равно квадрату его модуля — действительному числу. Это ключевой шаг при делении комплексных чисел.
Насколько точны результаты?
Вычисления выполняются с числами с плавающей точкой двойной точности, а результаты по умолчанию округляются до 6 знаков после запятой; точность можно настроить от 0 до 15 знаков. Крошечные остатки округления, например мнимая часть около 1e-16 рядом с действительной частью, равной 1, отображаются как ноль. Углы округляются до того же числа знаков.
Можно ли вводить числа в полярной форме?
Нет, числа нужно вводить в прямоугольной форме a + bi. Чтобы преобразовать полярную форму, вычислите a = r cos θ и b = r sin θ, например с помощью научного калькулятора. Результат здесь всегда включает полярную форму ответа.